Pass 2: Sambandsanalys

Måndag 5 oktober 2026, 14:00–16:00

Passet ligger samma dag som F2, så regressionen är helt ny för studenterna. Lägg tid på bilderna innan ni går in på tentafrågorna. Dummyvariabler föreläses först på F3 dagen efter och tas därför i pass 3.

Föreläsning	Datum	Tema	Kapitel (5:e uppl.)	Teman enligt kursplanen
F2	mån 5 okt (samma dag)	Sambandsanalys	14.1–14.2	Statistisk signifikans hos en korrelationskoefficient; den enkla linjära regressionsmodellen

Körschema

Tid	Vad	Kommentar
14:00–14:10	Tavelgenomgång: linjen, residualen, β mot b	Bild 1–3 nedan. Kort, studenterna ska räkna själva sedan.
14:10–14:55	Del 1: studenterna räknar uppgift 1–7	Uppmuntra formelsamlingen. Gå runt och lyssna efter missförstånd att ta upp efter pausen.
14:55–15:05	Paus
15:05–15:50	Del 2: genomgång	Prioritera i ordning: 6 (notation, begreppsfälla) → 3 (fler variabler) → 4 (kovarians) → 7 (räkna) → 1, 2, 5 snabbt.
15:50–16:00	Sammanfattning	Tre saker att ta med sig: e = y − ŷ, β är okänd och b är skattad, korrelation är inte lutning.

Om tiden inte räcker: hoppa över uppgift 1 och 2, de var lätta på tentorna.

Nya begrepp från F2

Från korrelation till regressionslinje

Nytt begrepp: regressionslinjen

Korrelationen (pass 1) svarar på hur tydligt två variabler hänger ihop. Regressionen svarar på hur mycket y ändras när x ändras. Linjen ŷ = b₀ + b₁x har två tal: b₀ är var linjen skär y-axeln och b₁ är lutningen, dvs hur mycket ŷ ökar när x ökar med en enhet.

Säg gärna högt: “korrelationen saknar enhet, lutningen har y:s enhet per x:s enhet”. Det är precis det tentafrågan i pass 1 (2024-03-19, fråga 2) testade.

Rita på tavlan: residualen

Rita axlarna och 6–8 punkter som ungefär ligger längs en stigande linje.
Dra en linje genom molnet och skriv ŷ = b₀ + b₁x vid den.
Välj en punkt ovanför linjen. Markera punkten (y) och stället rakt under på linjen (ŷ).
Dra det lodräta avståndet mellan dem: det är residualen e = y − ŷ. Positiv, eftersom punkten ligger ovanför.
Gör samma sak för en punkt under linjen: negativ residual.
Avsluta med: “OLS väljer den linje där summan av alla kvadrerade residualer, SSE, blir så liten som möjligt.”

Fråga till gruppen innan du visar svaret

“Varför kvadrerar vi residualerna i stället för att bara summera dem?” (Svar: annars tar positiva och negativa residualer ut varandra; summan av OLS-residualerna är alltid noll.)

Population eller stickprov: β mot b

Nytt begrepp: populationsmodell och skattad modell

Det finns ett sant, okänt samband i populationen, y = β₀ + β₁x + ε. Vi ser bara ett stickprov och räknar fram en skattning, ŷ = b₀ + b₁x. Ett nytt stickprov ger nya b, men β är densamma. Samma tanke som μ och x̄ i förra kursen.

Rita på tavlan: två kolumner

Populationen (okänd)	Stickprovet (det vi räknar på)
β₀, β₁ (grekiska)	b₀, b₁ (latinska)
y = β₀ + β₁x + ε	ŷ = b₀ + b₁x
ε = felterm	e = y − ŷ = residual

Visa att två stickprov ger två olika linjer runt samma streckade sanna linje. Det är därför vi behöver hypotestest för b (pass 3).

Rita på tavlan: tentans A/B/C-figur

Den här figuren har förekommit på två tentor (2025-03-25, fråga 11 och 2025-08-20, fråga 9). Rita den och fråga: “Vilket avstånd är residualen?” (A–B). Spara B–C till pass 3, där det blir den förklarade delen i R².

Multipel regression: “allt annat lika”

Nytt begrepp: flera x-variabler

Med flera x tolkas varje b som effekten av just den variabeln när de andra hålls konstanta. Därför ändras ofta en koefficient när man lägger till en ny variabel som hänger ihop med den gamla (uppgift 3).

Vardagsexempel: lön och ålder. Ålder ser ut att höja lönen, men en del av det är egentligen erfarenhet. Lägger man till erfarenhet i modellen blir ålderskoefficienten mindre.

Är korrelationen signifikant?

H₀: ρ = 0 (inget linjärt samband i populationen). Teststatistikan är

\[t = \frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}, \qquad df = n - 2.\]

Poäng att lyfta: med stort n blir även ett svagt samband signifikant. Statistisk signifikans är inte samma sak som ett starkt samband.

Tentafrågor (uppgiftsbladet)

Uppgifterna är desamma som på uppgiftsbladet #2 Uppgifter och i Mentor pass 2.

1. Enkel kontra multipel regression

2025-06-05, fråga 1 2 p Sant/falskt

Skillnaden mellan enkel och multipel regression är att enkel regression endast har en oberoende variabel men multipel regression har minst två oberoende variabler.

Facit och genomgång

Sant. En ren definition, men stanna vid vad den innebär: i multipel regression tolkas varje koefficient “allt annat lika”. Bra ingång till uppgift 3.

2. Korrelation och konstanta variabler

2024-11-01, fråga 2 2 p Sant/falskt

Korrelationen mäter den linjära samvariationen mellan två variabler. För att kunna beräkna korrelationskoefficienten måste den ena variabeln vara konstant (alltid ha samma värde).

Facit och genomgång

Falskt, och det är tvärtom. r = Cov(x, y) / (sₓ · s_y). Om en variabel är konstant är dess standardavvikelse 0 och vi delar med noll. Båda variablerna måste variera.

3. Påverkar fler variabler den ursprungliga koefficienten?

2025-08-20, fråga 1 2 p Sant/falskt

Om vi skattat en enkel linjär regressionsmodell och sedan utökar modellen med ytterligare variabler så kommer utökningen av modellen inte att påverka den skattade koefficienten för den ursprungliga oberoende variabeln. Detta eftersom sambandet mellan den oberoende och den beroende variabeln är detsamma oavsett hur många andra variabler som är med i modellen.

Facit och genomgång

Falskt. Koefficienten ändras om den nya variabeln både påverkar y och hänger ihop med den gamla x. Använd lön/ålder/erfarenhet-exemplet ovan.

Gränsfallet: om den nya variabeln är helt okorrelerad med den gamla ändras koefficienten inte. Det är sällsynt i verkliga data.

Koppling framåt: detta heter omitted variable bias och återkommer på F12 (pass 5).

4. Kovarians kontra korrelation

2025-08-20, fråga 2 2026-08-20, fråga 2 2 p Sant/falskt Ställd två gånger

Kovariansen är ett mått på linjärt samband mellan två variabler, som förutom att ange om sambandet är positivt eller negativt även anger hur starkt/tydligt detta samband är.

Facit och genomgång

Falskt. Kovariansens storlek beror på enheterna (kronor eller tusental kronor ger olika tal för samma samband). Bara tecknet går att tolka. Korrelationen standardiserar till [−1, 1] och kan därför tolkas som styrka.

2026-08-20: 69,4 % av maxpoängen, litet gap mellan godkända och underkända.

5. Vad är en residual?

2024-03-19, fråga 1 2 p Sant/falskt

Den så kallade “residualen” utgörs av skillnaden mellan det predikterade värdet på den beroende variabeln och det observerade värdet på den beroende variabeln.

Facit och genomgång

Sant (bekräftat mot tentans rättning). Påståendet säger bara “skillnaden mellan” och tar inte ställning till ordningen. När man räknar gäller e = y − ŷ. Peka på residualbilden ovan.

6. Population eller stickprov? Notation

2026-08-20, fråga 9 4 p Flerval 🔥 Begreppsfälla: 55 %, gap 1,79

Antag att du skattar en modell som förklarar variation i en beroende variabel med tre oberoende variabler. Till detta används ett stickprov på 1500 observationer. Vilken av nedanstående ekvationer visar korrekt modellen för det verkliga sambandet i populationen?

ŷ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃
ŷ = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃
y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃ + ε
y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + e

Facit och genomgång

y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃ + ε.

Låt studenterna kontrollera varje alternativ mot tabellen “Populationen / Stickprovet” ovan: grekiska bokstäver, y utan hatt och en felterm ε. Alternativ 1 blandar ŷ med β, alternativ 2 är stickprovets skattade linje och alternativ 4 är en stickprovsmodell som dessutom saknar x₃.

Tvillingfråga: 2025-06-05, fråga 7, frågade efter det skattade sambandet i stickprovet. Rätt svar där var ŷ = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃. Läs alltså noga om frågan gäller populationen eller stickprovet.

7. Signifikanstest för korrelationskoefficienten

Eget räkneexempel 6 p

En analytiker beräknar korrelationen mellan reklamutgifter och försäljning för n = 25 butiker och får r = 0,42. Testa på 5 % signifikansnivå om det finns ett signifikant linjärt samband i populationen (H₀: ρ = 0, H_A: ρ ≠ 0).

Facit och genomgång

t = 0,42 · √23 / √(1 − 0,42²) = 2,014 / 0,9075 ≈ 2,22, df = 23.

Kritiskt värde, tvåsidigt 5 %, df = 23: 2,069. Eftersom 2,22 > 2,069 förkastas H₀.

Poäng: r² ≈ 0,18, alltså förklaras bara cirka 18 % av variationen. Signifikant men svagt samband.

Fler tentafrågor på området

Tenta	Fråga	Rätt svar	Använd till
2025-06-05, fråga 6	Lutningen skattad till +0,45 i en enkel regression: vilken tolkning är mest korrekt?	“När den oberoende variabeln ökar med 1 enhet ökar den beroende variabeln i genomsnitt med 0,45 enheter”	Fallan är “alltid” i stället för “i genomsnitt”, och att blanda ihop vilken variabel som ökar.
2025-06-05, fråga 7	Vilken ekvation motsvarar det skattade sambandet i stickprovet (3 x, n = 2500)?	ŷ = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃	Tvilling till uppgift 6.
2025-03-25, fråga 11	A/B/C-figuren: vilket avstånd är residualen?	A–B	Tavelbilden ovan.
2025-08-20, fråga 9	Samma figur: vilket avstånd är standardfelet?	Inget, standardfelet är ett sammanfattande mått som inte kan illustreras som ett avstånd	Spara till pass 3.
2025-06-05, fråga 12	“Om värdet på variabel A helt och perfekt kan förklaras av variabel B säger vi att sambandet är …”	deterministiskt	Kontrast: regression handlar om stokastiska samband, därför finns ε.

Interaktivt (visa från datorn)

Dra i reglagen och se hur summan av de kvadrerade residualerna (SSE) ändras. Ingen linje kan få lägre SSE än OLS-linjen.

data2 = [
  {x: 1, y: 3.0}, {x: 2, y: 4.2}, {x: 3, y: 2.6}, {x: 4, y: 5.4}, {x: 5, y: 5.2},
  {x: 6, y: 8.6}, {x: 7, y: 6.6}, {x: 8, y: 8.2}, {x: 9, y: 8.9}
]
ols2 = {
  const n = data2.length, mx = d3.mean(data2, d => d.x), my = d3.mean(data2, d => d.y);
  const b1 = d3.sum(data2, d => (d.x - mx) * (d.y - my)) / d3.sum(data2, d => (d.x - mx) ** 2);
  return {b0: my - b1 * mx, b1};
}
viewof b1u = Inputs.range([-0.5, 1.5], {step: 0.01, value: 0.3, label: "lutning b₁"})
viewof b0u = Inputs.range([-2, 8], {step: 0.05, value: 4, label: "intercept b₀"})
viewof visaOls = Inputs.toggle({label: "visa OLS-linjen", value: false})
sseU = d3.sum(data2, d => (d.y - b0u - b1u * d.x) ** 2)
sseO = d3.sum(data2, d => (d.y - ols2.b0 - ols2.b1 * d.x) ** 2)
md`**Din linje:** ŷ = ${b0u.toFixed(2)} + ${b1u.toFixed(2)}x  SSE = **${sseU.toFixed(2)}**  ${visaOls ? `| **OLS:** ŷ = ${ols2.b0.toFixed(2)} + ${ols2.b1.toFixed(2)}x  SSE = **${sseO.toFixed(2)}**` : ""}`

Plot.plot({
  width: 640, height: 360, x: {domain: [0, 10], label: "x"}, y: {domain: [0, 11], label: "y"},
  marks: [
    Plot.ruleX(data2, {x: "x", y1: "y", y2: d => b0u + b1u * d.x, stroke: "#e02424", strokeWidth: 2}),
    Plot.line([[0, b0u], [10, b0u + 10 * b1u]], {stroke: "#1f2a37", strokeWidth: 2.5}),
    visaOls ? Plot.line([[0, ols2.b0], [10, ols2.b0 + 10 * ols2.b1]], {stroke: "#057a55", strokeDasharray: "6,4", strokeWidth: 2}) : null,
    Plot.dot(data2, {x: "x", y: "y", fill: "#1c64f2", r: 5})
  ]
})

Signifikanstest för r: ändra r och n och se när H₀ förkastas.

viewof rIn = Inputs.range([0, 0.95], {step: 0.01, value: 0.42, label: "r"})
viewof nIn = Inputs.range([5, 200], {step: 1, value: 25, label: "n"})
tKrit = (df) => {  // two-sided 5 % critical t (Cornish-Fisher approximation, good for df ≥ 5)
  const z = 1.959964;
  return z + (z ** 3 + z) / (4 * df) + (5 * z ** 5 + 16 * z ** 3 + 3 * z) / (96 * df ** 2);
}
tObs = rIn * Math.sqrt(nIn - 2) / Math.sqrt(1 - rIn ** 2)
md`t = ${tObs.toFixed(2)}, df = ${nIn - 2}, kritiskt t ≈ ${tKrit(nIn - 2).toFixed(3)} → **${Math.abs(tObs) > tKrit(nIn - 2) ? "förkasta H₀" : "förkasta inte H₀"}**. r² = ${(rIn ** 2 * 100).toFixed(0)} % av variationen.`