Pass 3: Dummyvariabler, goodness of fit, signifikanstest

Torsdag 15 oktober 2026, 13:00–15:00

Tre föreläsningar sedan förra passet, så det här är det tyngsta passet. Bygg upp det i samma ordning som föreläsningarna: först vad en dummy gör med linjen, sedan hur bra modellen passar (R²), sist hur vi testar koefficienterna. Excelutskriften (uppgift 2) knyter ihop allt och är den viktigaste tentafrågetypen i kursen.

Föreläsning	Datum	Tema	Kapitel (5:e uppl.)	Teman enligt kursplanen
F3	tis 6 okt	Dummyvariabler	14.3 + 16.1	Den multipla linjära regressionsmodellen; kategorisk variabel med flera kategorier
F4	fre 9 okt	Goodness of fit	14.4	Hur välanpassad är modellen till data? Fokus R². F-värdet (test av alla parametrar)
F5	tis 13 okt	Signifikanstest	15.1	Hypotestester av linjära samband

Körschema

Tid	Vad	Kommentar
13:00–13:25	Inledning: det här behöver ni för uppgifterna	Se nästa avsnitt. Repetition (5 min), verktygslådan på tavlan (5 min), sedan bilderna för dummy, SST och t = b / se(b) (15 min).
13:25–14:05	Del 1: uppgift 1–5	Uppgift 1 är lång (20 p). Säg åt studenterna att göra a–e först och ta f sist. Låt verktygslådan stå kvar på tavlan.
14:05–14:15	Paus
14:15–14:55	Del 2: genomgång	2 (Excel, begreppsfälla) → 1 (dummy och interaktion) → 4 (svagaste frågan på 2026-08-20) → 3 och 5 snabbt. Peka tillbaka på verktygslådan: “vilket verktyg använde vi här?”
14:55–15:00	Sammanfattning	“Var hittar jag vad i Excelutskriften?” Visa kartan nedan en gång till.

Blir det ändå tid över: ta en av Excelessäerna under Fler tentafrågor på området som extrauppgift.

Inledning: det här behöver ni för uppgifterna

Syftet är att studenterna ska veta vilka verktyg de ska ha i huvudet innan de börjar räkna, så att de inte fastnar i uppgift 1 utan att veta vad en dummy gör. Kör inledningen i tre steg.

Steg 1: repetition från pass 1–2 (5 min)

Fråga till gruppen, en i taget

“I ŷ = 42 − 3,1·avstånd, vad betyder −3,1?” (Svar: ŷ minskar med 3,1 enheter när avståndet ökar med 1 km. Med flera x: allt annat lika.)
“Vad är skillnaden mellan β och b?” (Svar: β är den okända sanna koefficienten i populationen, b är skattningen från stickprovet. Det är b vi testar för att säga något om β.)
“När förkastar vi H₀?” (Svar: när p < α, t.ex. 0,05. Samma sak som att |t| är större än det kritiska värdet.)

Om någon av frågorna går trögt, ta den bilden från pass 2 igen innan ni går vidare. Allt annat i passet bygger på de här tre.

Steg 2: verktygslådan på tavlan (5 min)

Skriv upp listan i ett hörn av tavlan och låt den stå kvar hela passet

Dummy: 0/1, flyttar linjen upp eller ned. Koefficienten = skillnad mellan grupperna, allt annat lika. k kategorier ger k − 1 dummies.
Interaktion: dummy × x ändrar lutningen för gruppen med 1.
R² = SSR / SST: andel av variationen i y som modellen förklarar. Justerat R² vid jämförelse mellan modeller.
sₑ (översta Standardfel): typiskt avstånd mellan y och ŷ, i y:s enhet.
t = b / se(b): testar H₀: β = 0 för en koefficient. Stort |t| ger litet p.
F-test: testar om alla β = 0 samtidigt, alltså om modellen förklarar något alls.

Steg 3: vilket verktyg behövs i vilken uppgift?

Visa tabellen (eller läs upp den) så att studenterna vet vad de ska slå upp när de fastnar. Gå sedan igenom de tre bilderna i kolumnen längst till höger, ungefär 5 minuter var.

Uppgift	Verktyg (från listan)	Det ni ska kunna göra	Tavelbild
1. Cykelresande (20 p)	1, 2	Skriva modellen med dummy och interaktion, dela upp den i en ekvation per grupp, tolka varje koefficient, sätta in värden och predicera	Dummy som parallell linje, interaktionsbilden
2. Excelutskrift (8 p)	4, 5, plus tolkning av b och konstanten	Hitta rätt siffra i utskriften, tolka b med “allt annat lika”, ange H₀ och H_A, avgöra signifikans med p-värdet	Kartan över Excelutskriften
3. t-värde och p-värde	5	Se att större \|t\| ger mindre yta i svansarna	t-fördelningen
4. Koefficient, standardfel, t	5	Testa varje påstående mot t = b / se(b)	t-fördelningen
5. F-test och R²	3, 6	Skilja om modellen förklarar något (F) från hur mycket (R²)	SST = SSR + SSE

Avsluta inledningen med en kontrollfråga

“Uppgift 2 frågar efter ‘Standardfel’ i översta tabellen. Är det samma sak som standardfelet för FoU?” Låt dem gissa, men säg inte svaret än. Det är begreppsfällan i uppgift 2 och ni tar den i genomgången.

Nya begrepp

F3: dummyvariabler

Nytt begrepp: dummyvariabel

En dummy är en variabel som bara kan vara 0 eller 1, t.ex. kvinna = 1, annars 0. Den flyttar hela linjen uppåt eller nedåt för gruppen med 1, men lutningen är densamma. Koefficienten är alltså skillnaden i genomsnittligt y mellan grupperna, allt annat lika. Gruppen med 0 kallas referensgruppen.

Har variabeln fler kategorier (t.ex. grundskola, gymnasium, universitet) behövs k − 1 dummies. Tar man med alla k blir de tillsammans exakt lika med konstanten (de summerar alltid till 1) och modellen går inte att skatta: dummy variable trap.

Rita på tavlan: dummy som parallell linje

Rita en stigande linje och skriv “d = 0, referensgrupp”.
Rita en parallell linje ovanför och skriv “d = 1”.
Pila avståndet mellan linjerna: det är b₂, och det är lika stort vid alla x.
Fråga: “Vad skulle krävas för att linjerna inte ska vara parallella?” Det leder till interaktion (uppgift 1).

Rita på tavlan: interaktion (uppgift 1, cykelresande)

Rita de två linjerna efter att studenterna har räknat c). Poängen: interaktionstermen ändrar lutningen för gruppen med cykelväg (−3,1 + 1,9 = −1,2), dummyn ändrar nivån (42 + 8,4 = 50,4).

Fråga till gruppen

“Vi har tre utbildningsnivåer och kön i en lönemodell. Hur många dummyvariabler behövs?” (Svar: 2 + 1 = 3. Exakt så frågade tentan 2025-08-20, fråga 16.4. Den bästa A-tentan svarade 1.)

F4: goodness of fit

Nytt begrepp: R², justerat R² och standardfelet

R² = SSR / SST: hur stor andel av variationen i y som modellen förklarar.
Justerat R² straffar varje ny variabel. Använd det när modeller med olika antal variabler jämförs.
Standardfelet sₑ (översta tabellen i Excel) = typiskt avstånd mellan observerat och predikterat y, i y:s enhet. Det är inte samma sak som standardfelet för en koefficient.

Rita på tavlan: varför SST = SSR + SSE

Rita linjen, en vågrät streckad linje för ȳ och en punkt högt ovanför båda.
Dra det lodräta avståndet från ȳ till punkten: totalt (→ SST).
Dela det vid regressionslinjen: från ȳ upp till linjen är den förklarade delen (→ SSR), från linjen upp till punkten är residualen (→ SSE).
Summera över alla punkter (i kvadrat): SST = SSR + SSE. R² = SSR / SST.
Koppla till A/B/C-figuren från pass 2: B–C är förklarat, A–B är residualen.

Rita på tavlan: R² mot justerat R²

Här läggs rena brusvariabler till en efter en. R² kryper uppåt ändå, medan justerat R² sjunker. Rita det som två skissade kurvor.

F5: signifikanstest

Nytt begrepp: t-test och F-test

t-test för en koefficient: H₀: βⱼ = 0. t = bⱼ / se(bⱼ). Svarar på om just den variabeln har ett samband med y, allt annat lika.
F-test (test of joint significance): H₀: β₁ = β₂ = … = βₖ = 0. Svarar på om modellen förklarar något alls. Förkastas H₀ vet vi bara att minst en koefficient skiljer sig från noll.

Rita på tavlan: tentans t-test i en bild

Samma bild som i pass 1, nu med t = b / se(b). Skriv formeln stort och visa hur t växer när b växer och krymper när se växer. Det är hela uppgift 4.

Karta över Excelutskriften

Använd utskriften från uppgift 2 och peka på varje del:

Var i utskriften	Vad det är	Tentafråga
Regressionsstatistik: R-kvadrat	Andel förklarad variation (SSR/SST)	2026-08-20 fr. 12
Justerad R-kvadrat	R² straffat för antal variabler. Använd vid jämförelse mellan modeller	2025-08-20 fr. 16.2
Standardfel (översta tabellen)	sₑ: typiskt avstånd mellan y och ŷ, i y:s enhet	2026-08-20 fr. 16a, 2024-12-15 fr. 15.2
ANOVA: F och p-värde för F	Testar om alla β = 0	2025-08-20 fr. 16.1
Koefficienter	b: förändring i y per enhet x, allt annat lika	alla tentor
Standardfel (per rad)	Osäkerheten i just den koefficienten	2024-12-15 fr. 15.3
t-kvot	b / se(b)	2026-08-20 fr. 11
p-värde	Sannolikheten för minst så extremt t om β = 0	2025-06-05 fr. 16.4–5
Konstant	ŷ när alla x = 0, ofta utanför data	2026-08-20 fr. 16c

Tentafrågor (uppgiftsbladet)

1. Cykelresande och stadsplanering: dummyvariabler och interaktion

Konstruerad övning 20 p 🔁 Samma upplägg i essäerna

En samhällsplanerare vill förklara hur stor andel av sina dagliga resor invånare i en kommun gör med cykel. Hon tror att avstånd till stadskärnan påverkar negativt, men att effekten ser olika ut beroende på om man bor i ett område med cykelvägnät eller inte.

Vilka variabler bör ingå i modellen? Motivera. b) Skriv upp modellspecifikationen. Förklara innebörden av varje term. c) Den skattade modellen ger ŷ = 42 − 3,1·avstånd + 8,4·cykelväg + 1,9·(cykelväg × avstånd). Skriv upp de två skattade ekvationerna, en per grupp. d) Tolka koefficienterna i sitt sammanhang. e) En invånare bor 5 km från stadskärnan i ett område med cykelvägnät. Vad är det predikterade cykelresandet? f) Vad är “dummy variable trap” och hur undviker man det?

Facit och genomgång

Avstånd, dummyn cykelväg (1 = cykelvägnät) och interaktionen cykelväg × avstånd. Interaktionen behövs eftersom teorin säger att avståndseffekten skiljer sig mellan grupperna.
cykelresande = β₀ + β₁·avstånd + β₂·cykelväg + β₃·(cykelväg × avstånd) + ε. β₀: nivå för referensgruppen vid 0 km. β₁: lutning för referensgruppen. β₂: nivåskillnad för gruppen med cykelväg. β₃: skillnad i lutning. ε: felterm.
Utan cykelväg: ŷ = 42 − 3,1·avstånd. Med cykelväg: ŷ = 50,4 − 1,2·avstånd.
−3,1: utan cykelväg minskar cykelresandet med 3,1 procentenheter per km. 8,4: med cykelväg är nivån 8,4 procentenheter högre vid 0 km. 1,9: avståndseffekten är 1,9 procentenheter svagare per km med cykelväg. Cykelvägar dämpar alltså avståndseffekten.
50,4 − 1,2 · 5 = 44,4 %.
k kategorier ger k − 1 dummies. Annars perfekt multikollinjäritet med konstanten.

Koppling: precis den här typen av tolkning (en dummy, en interaktion, “effekten för respektive grupp”) kommer i de engelska essäfrågorna på varje tenta 2024–2025 och i fråga 7 på 2026-08-20.

2. Tolka en Excelutskrift

2026-08-20, fråga 16 8 p 🔥 Begreppsfälla: 33 %, gap 2,33 🔁 På varje tenta

Du analyserar ett antal företag för att se vad som kan förklara skillnader i lönsamhet hos ett antal företag. Du använder Excel och får nedanstående resultat från din regressionsanalys. Den beroende variabeln är den årliga lönsamheten (i miljoner kronor) och de oberoende variablerna är: 1. Belopp som läggs på löner (i miljoner kronor) 2. Belopp som läggs på Forskning och Utveckling (FoU) (i miljoner kronor) 3. Belopp som läggs på reklam (i miljoner kronor) 4. Om företaget har en kvinnlig VD (1 om ja, 0 om nej) 5. Andel av de anställda som är kvinnor (procent)

Regressionsstatistik
Multipel-R	0,845
R-kvadrat	0,714
Justerad R-kvadrat	0,698
Standardfel	4,321
Observationer	60

	fg	KvS	MKv	F	p-värde för F
Regression	5	2890,45	578,09	30,98	0,00001
Residual	54	1008,55	18,68
Total	59	3899

	Koefficienter	Standardfel	t-kvot	p-värde	Nedre 95%	Övre 95%
Konstant	25,678	8,123	3,16	0,002	9,412	41,944
Löner	0,456	0,345	1,32	0,192	−0,234	1,146
FoU	1,234	0,456	2,71	0,009	0,32	2,148
Reklam	0,789	0,345	2,29	0,026	0,097	1,481
Kvinnlig VD	3,567	1,234	2,89	0,005	1,091	6,043
Andel kvinnor	0,123	0,056	2,2	0,032	0,011	0,235

Tolka värdet på “Standardfel” i översta delen av tabellen noga (2 poäng) b) Tolka den skattade koefficienten för variabeln FoU, inklusive dess statistiska signifikans (4p) c) Förklara med en mening varför vi ska vara försiktiga när vi tolkar den skattade koefficienten för konstanten i ovanstående tabell (2p)

Facit och genomgång

4,321 är sₑ: företagens faktiska lönsamhet avviker i genomsnitt ungefär 4,3 miljoner kronor från den predikterade. Fallan: att tolka det som FoU:s eller någon annan koefficients standardfel. Den bästa A-tentan blandade också ihop det med t-värdet.
Ytterligare 1 miljon kronor på FoU hänger i genomsnitt ihop med 1,234 miljoner kronor högre lönsamhet, allt annat lika. t = 1,234 / 0,456 ≈ 2,71, p = 0,009 < 0,05 (även < 0,01): signifikant på 5 % och 1 %. Nämn hypoteserna H₀: β_FoU = 0 mot H_A: β_FoU ≠ 0.
Konstanten är predikterad lönsamhet för ett företag utan löner, FoU, reklam, kvinnlig VD och kvinnliga anställda, något som inte finns i data (extrapolation).

Genomgångstips: låt studenterna själva hitta varje siffra i tabellen med “kartan” ovan innan du visar svaret.

3. t-värde och p-värde

2024-11-01, fråga 1 2 p Sant/falskt

Vid hypotestest av en lutningskoefficient kan både t-värden och p-värden användas. Om inget annat ändras innebär ett större t-värde (mer skilt från noll) alltid att p-värdet blir lägre.

Facit och genomgång

Sant. Större |t| ger mindre yta i svansarna, alltså lägre p. Den bästa A-tentan svarade fel här. Systerfrågan 2024-12-15 hade ordet “högre” och då var svaret falskt (pass 1).

4. Koefficient, standardfel och t-värde

2026-08-20, fråga 11 2025-03-25, fråga 12 4 p ⚠️ Svagast på tentan: 33 %, gap 0,83

Antag att du genomför ett test för individuell signifikans, dvs testar signifikansen för en enskild koefficient. Om den skattade koefficienten är positiv, vilket av följande påståenden är korrekt?

Ett högre värde på koefficienten leder till ett högre värde på t-värdet, allt annat lika
Ett högre värde på koefficienten leder till ett högre värde på standardfelet, allt annat lika
Koefficientens och t-värdets värden är oberoende av varandra
Ett högre värde på standardfelet leder till ett högre värde på t-värdet, allt annat lika

Facit och genomgång

Ett högre värde på koefficienten leder till ett högre värde på t-värdet, allt annat lika.

Allt följer ur t = b / se(b). Skriv formeln på tavlan och låt studenterna testa varje alternativ mot den i stället för att resonera fritt. Exempel ur uppgift 2: FoU, 1,234 / 0,456 ≈ 2,71.

Frågan kom ordagrant även 2025-03-25: den återkommer.

5. F-test och R²

2026-08-20, fråga 1 2 p Sant/falskt Lätt: 90 %

En modell som har ett lågt p-värde för F-testet och alltså är statistiskt signifikant som helhet, kan ändå ha ett lågt värde på determinationskoefficienten.

Facit och genomgång

Sant. F-testet frågar om modellen förklarar något, R² hur mycket. Med många observationer räcker lite förklaring för signifikans. Exempel: LPM-uppgiften i pass 5 har R² = 0,13 men F-testets p-värde 0,0000.

Fler tentafrågor på området

Tenta	Fråga	Rätt svar	Kommentar
2024-03-19, fråga 11	“Värdet på den skattade koefficienten för en dummyvariabel visar:”	den genomsnittliga skillnaden i intercept mellan de två grupperna	Tavelbilden med parallella linjer.
2024-11-01, fråga 10	“En så kallad dummyvariabel:”	är en variabel som bara kan anta två olika värden
2025-08-20, fråga 16.4	Lönemodell med ålder, utbildningsnivå (3 nivåer), erfarenhet och kön: hur många dummyvariabler?	3 (2 för utbildning, 1 för kön)	Bästa A-tentan svarade 1. Bra diskussionsfråga.
2024-12-15, fråga 11	“I en regressionsmodell mäter determinationskoefficienten …”	hur stor andel av variationen i den beroende variabeln som förklaras av modellen
2026-08-20, fråga 12	Vad representerar R² i en enkel linjär regression?	den procentuella andelen av den totala variationen i den beroende variabeln som förklaras av de oberoende variablerna	82 % av maxpoängen. Distraktorn byter plats på beroende och oberoende.
2024-12-15, fråga 12	Koefficienten för “bostadsyta” betecknas …?	β₁ (inte x₁)	Notation, som i pass 2.
2025-08-20, fråga 9	A/B/C-figuren: vilket avstånd är standardfelet?	Inget, det är ett sammanfattande mått	Koppla till “Standardfel” i kartan.
2024-03-19, fråga 15; 2024-12-15, fråga 15; 2025-08-20, fråga 16	Excelessäer: tolka F-test, R², koefficienter, hypoteser		Samma färdigheter som uppgift 2. Bra extrauppgifter.

Gemensamt F-test som sant/falskt (2025-06-05 fråga 2 och 2025-03-25 fråga 2) ligger på uppgiftsbladet för pass 4.

Interaktivt (visa från datorn)

Dummy och interaktion: ändra koefficienterna och se hur de två gruppernas linjer rör sig.

viewof c_b1 = Inputs.range([-5, 1], {step: 0.1, value: -3.1, label: "b₁ avstånd"})
viewof c_b2 = Inputs.range([-10, 20], {step: 0.1, value: 8.4, label: "b₂ cykelväg (dummy)"})
viewof c_b3 = Inputs.range([-3, 4], {step: 0.1, value: 1.9, label: "b₃ interaktion"})
md`Utan cykelväg: ŷ = 42 ${c_b1 < 0 ? "−" : "+"} ${Math.abs(c_b1).toFixed(1)}·avstånd  |  Med cykelväg: ŷ = ${(42 + c_b2).toFixed(1)} ${(c_b1 + c_b3) < 0 ? "−" : "+"} ${Math.abs(c_b1 + c_b3).toFixed(1)}·avstånd`

Plot.plot({
  width: 640, height: 340, x: {domain: [0, 12], label: "avstånd (km)"}, y: {domain: [0, 70], label: "cykelresande (%)"},
  color: {legend: true, domain: ["utan cykelväg", "med cykelväg"], range: ["#1f2a37", "#1c64f2"]},
  marks: [
    Plot.line([[0, 42], [12, 42 + 12 * c_b1]], {stroke: "#1f2a37", strokeWidth: 2.5}),
    Plot.line([[0, 42 + c_b2], [12, 42 + c_b2 + 12 * (c_b1 + c_b3)]], {stroke: "#1c64f2", strokeWidth: 2.5}),
    Plot.ruleY([0])
  ]
})

R² mot justerat R²: lägg till brusvariabler och se vad som händer.

viewof k_brus = Inputs.range([0, 15], {step: 1, value: 0, label: "antal brusvariabler"})
r2demo = {
  // fixed simulated data: y depends on x1 only, n = 25
  const n = 25, rand = d3.randomNormal.source(d3.randomLcg(42))(0, 1);
  const x1 = d3.range(n).map(() => rand());
  const y = x1.map(v => 1 + 1.2 * v + rand());
  const noise = d3.range(15).map(() => d3.range(n).map(() => rand()));
  const fit = (k) => {
    const cols = [x1, ...noise.slice(0, k)];
    const X = d3.range(n).map(i => [1, ...cols.map(c => c[i])]);
    const p = X[0].length;
    const XtX = d3.range(p).map(a => d3.range(p).map(b => d3.sum(X, r => r[a] * r[b])));
    const Xty = d3.range(p).map(a => d3.sum(X, (r, i) => r[a] * y[i]));
    const A = XtX.map((r, i) => [...r, Xty[i]]);
    for (let i = 0; i < p; i++) {
      let m = i; for (let j = i + 1; j < p; j++) if (Math.abs(A[j][i]) > Math.abs(A[m][i])) m = j;
      [A[i], A[m]] = [A[m], A[i]];
      for (let j = i + 1; j < p; j++) { const f = A[j][i] / A[i][i]; for (let c = i; c <= p; c++) A[j][c] -= f * A[i][c]; }
    }
    const beta = Array(p).fill(0);
    for (let i = p - 1; i >= 0; i--) beta[i] = (A[i][p] - d3.sum(d3.range(i + 1, p), c => A[i][c] * beta[c])) / A[i][i];
    const yh = X.map(r => d3.sum(r, (v, j) => v * beta[j]));
    const my = d3.mean(y), sst = d3.sum(y, v => (v - my) ** 2), sse = d3.sum(y, (v, i) => (v - yh[i]) ** 2);
    const r2 = 1 - sse / sst, kk = k + 1;
    return {k: kk, r2, adj: 1 - (1 - r2) * (n - 1) / (n - kk - 1)};
  };
  return d3.range(0, 16).map(fit);
}
md`Med ${k_brus} brusvariabler: R² = **${r2demo[k_brus].r2.toFixed(3)}**, justerat R² = **${r2demo[k_brus].adj.toFixed(3)}**`

Plot.plot({
  width: 640, height: 300, y: {domain: [-0.2, 1], label: "värde"}, x: {label: "antal brusvariabler"},
  marks: [
    Plot.line(r2demo.map((d, i) => ({i, v: d.r2})), {x: "i", y: "v", stroke: "#1c64f2", strokeWidth: 2}),
    Plot.line(r2demo.map((d, i) => ({i, v: d.adj})), {x: "i", y: "v", stroke: "#e02424", strokeWidth: 2}),
    Plot.ruleX([k_brus], {stroke: "#9ca3af", strokeDasharray: "4,4"}),
    Plot.text([{i: 13, v: 0.95, t: "R² (blå)"}, {i: 13, v: 0.85, t: "justerat R² (röd)"}], {x: "i", y: "v", text: "t"})
  ]
})