Pass 4: Begränsade modeller, antaganden, polynom

Onsdag 21 oktober 2026, 13:00–15:00

Tre områden som alla återkommer på nästan varje tenta: restriktionstestet med bostadsrätterna, antagandena och den kvadratiska modellens marginaleffekt. Antagandena var en av de tydligaste begreppsfällorna 2026-08-20, så lägg mest tid där. F9 (logaritmer) hålls på förmiddagen samma dag men tas i pass 5.

Föreläsning	Datum	Tema	Kapitel (5:e uppl.)	Teman enligt kursplanen
F6	tors 15 okt	Begränsade modeller	15.2–15.3	Ett generellt test av linjära restriktioner; intervalluppskattningar för responsvariabeln
F7	fre 16 okt	Antaganden i modeller	15.4	Modellantaganden och vanliga överträdelser
F8	mån 19 okt	Modeller med polynom	16.3	Den kvadratiska regressionsmodellen

Körschema

Tid	Vad	Kommentar
13:00–13:25	Inledning: det här behöver ni för uppgifterna	Se nästa avsnitt. Repetition (5 min), verktygslådan (5 min), sedan bilderna för LENA PH, restriktionen och parabeln (15 min). Formelbladet står först på uppgiftsbladet.
13:25–14:05	Del 1: uppgift 1–5	Uppgift 1 utan anteckningar först, sedan med. Hänvisa till formelbladet och tipsraderna innan du förklarar själv.
14:05–14:15	Paus
14:15–14:55	Del 2: genomgång	1 (antaganden, begreppsfälla) → 3 och 5 (kvadratisk, med tavelbilden) → 2 (restriktion) → 4.
14:55–15:00	Sammanfattning	LENA PH en gång till, och formeln b₁ + 2b₂x.

Blir det ändå tid över: ta en av frågorna under Fler tentafrågor på området, t.ex. den begränsade modellen eller KI mot PI.

Inledning: det här behöver ni för uppgifterna

Studenterna har ett formelblad först på uppgiftsbladet och en tipsrad under varje uppgift. Inledningen ska få dem att använda bladet, så att du slipper förklara samma sak för varje grupp.

Steg 1: repetition från pass 3 (5 min)

Fråga till gruppen, en i taget

“Vad testar F-testet i Excelutskriften, och vad vet vi om H₀ förkastas?” (Svar: H₀: alla β = 0. Förkastas den vet vi bara att minst ett β är skilt från 0. Det är hela uppgift 4.)
“Vad är SSE?” (Svar: summan av de kvadrerade residualerna, den oförklarade variationen. Restriktionstestet jämför SSE från två modeller.)
“Vad betyder lutningen b₁ i ŷ = b₀ + b₁x?” (Svar: hur mycket ŷ ändras när x ökar med en enhet. Följdfråga: “Är lutningen densamma överallt på en parabel?” Det leder till marginaleffekten.)

Steg 2: verktygslådan (5 min)

Skriv upp listan i ett hörn av tavlan och låt den stå kvar hela passet

Restriktion: skriv påståendet som en likhet mellan β:n. Likheten står i H₀.
Begränsad modell: sätt in H₀ i modellen. Jämför SSE med partiellt F: F = ((SSE_R − SSE_U) / q) / (SSE_U / (n − k − 1)).
KI mot PI: samma mittpunkt ŷ. PI är alltid bredare.
LENA PH: linjäritet (i parametrarna), exogenitet, normalfördelad felterm, ingen autokorrelation, ingen perfekt multikollinjäritet, homoskedasticitet.
Kvadratisk modell: marginaleffekt = b₁ + 2b₂x, vändpunkt x = −b₁ / (2b₂).
ln y: en förändring på 0,01 i ln y är ungefär 1 % i y.

Steg 3: vilket verktyg behövs i vilken uppgift?

Uppgift	Verktyg (från listan)	Det ni ska kunna göra	Tavelbild
1. Antaganden (12 p)	4	Para ihop antagande och beskrivning, och känna igen de tre beskrivningarna som är fel	LENA PH
2. Lika lutning (4 p)	1	Översätta “samma lutning” till H₀ och H_A	Restriktionstest
3. Kvadratisk, räkna (4 p)	5, 6	Sätta in i b₁ + 2b₂x och tolka svaret i procent eftersom y är logaritmerad	Parabeln med tangenter
4. Gemensamt F-test	2 (pass 3)	Säga vad H₀ är och vad det betyder att förkasta den	Ingen ny bild
5. Kvadratisk, begrepp (2 p)	5	Förklara varför x² inte kan hållas konstant	Parabeln med tangenter

Avsluta inledningen med en kontrollfråga

“Gäller antagandet om linjäritet variablerna eller parametrarna?” Låt dem gissa, men säg inte svaret än. Det är begreppsfällan i uppgift 1 och ni tar den i genomgången.

Nya begrepp

F6: begränsade modeller och intervall

Nytt begrepp: restriktionstest (partiellt F-test)

Vi vill testa något annat än “är koefficienten noll”, t.ex. har två variabler samma lutning? Gör så här:

Skriv H₀ som en likhet: β₃ = β₄.
Bygg den begränsade modellen genom att sätta in H₀: y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃(x₃ + x₄) + ε.
Skatta både den obegränsade och den begränsade modellen och jämför deras SSE:

\[F = \frac{(SSE_R - SSE_U)/q}{SSE_U/(n-k-1)}\]

q = antal restriktioner (här 1). Om F är stort ökar felet mycket när restriktionen tvingas på, och då förkastas H₀. Den begränsade modellen kan aldrig ha mindre SSE än den obegränsade.

Nytt begrepp: konfidensintervall mot prediktionsintervall

Konfidensintervall: för medelvärdet av y vid givna x, t.ex. genomsnittspriset för alla hus på 100 kvm.
Prediktionsintervall: för ett enskilt nytt y, t.ex. priset på ett visst hus. Alltid bredare, eftersom det också innehåller slumpen i ε.
Båda har samma mittpunkt: punktskattningen ŷ.

Rita på tavlan: två band runt samma linje

Rita linjen, ett smalt band (KI) och ett brett band (PI) runt samma linje. Fråga: “Vilket intervall skulle du använda om du ska sälja din lägenhet?” (PI.)

F7: antaganden (LENA PH)

Minnesregel: LENA PH

	Antagande	Brott	Vad händer?
L	Linjäritet i parametrarna, rätt specificerad modell	Böjt mönster i residualerna	Fel modell; lös med x², ln x
E	Exogenitet: feltermen är inte korrelerad med något x	Utelämnad variabel, omvänd kausalitet	Skeva koefficienter (värst)
N	Normalfördelade feltermer	Skevt residualhistogram	t- och F-test osäkra i små stickprov
A	Ingen autokorrelation	Residualerna följer varandra över tid	För små standardfel
P	Ingen perfekt multikollinjäritet	x₂ = 2·x₁ exakt	Går inte att skatta
H	Homoskedasticitet: samma varians för alla x	Trattform	Standardfel och test opålitliga

Rita på tavlan: sex små residualplottar

Rita en ruta per bokstav och låt gruppen gissa bokstaven innan du skriver den. Poängen med E: brottet syns inte i en residualplot, det måste resoneras fram.

Fråga till gruppen

“Är det ett brott mot antagandena att vi har x² i modellen?” (Nej. Linjäriteten gäller parametrarna, inte variablerna. Det är exakt den distraktor som lurade studenter 2026-08-20.)

F8: modeller med polynom

Nytt begrepp: marginaleffekt i en kvadratisk modell

I ŷ = b₀ + b₁x + b₂x² finns x på två ställen, så effekten av en enhet mer x beror på var man är:

\[\text{marginaleffekt} = b_1 + 2b_2x, \qquad \text{vändpunkt: } x = -\frac{b_1}{2b_2}.\]

b₂ < 0 ger en topp (avtagande avkastning), b₂ > 0 en dal. x² kan inte “hållas konstant” medan x ändras.

Rita på tavlan: parabeln med tangenter

Rita en upp-och-nervänd parabel.
Rita en brant tangent till vänster (positiv marginaleffekt) och en negativ till höger.
Markera toppen och skriv x = −b₁ / (2b₂).
Räkna med siffrorna: b₁ = 2,4 och b₂ = −0,2 ger 2,4 + 2(−0,2)·2 = 1,6 vid x = 2 och 2,4 + 2(−0,2)·9 = −1,2 vid x = 9.

Tentafrågor (uppgiftsbladet)

1. Matcha regressionsantaganden

2026-08-20, fråga 15 12 p 🔥 Begreppsfälla: 42 %, gap 2,07 🔁 På varje tenta

Inom regressionsanalysen använder vi ett antal antaganden. Para ihop nedanstående beskrivningar med de olika antagandena.

Antaganden: linjäritet, ingen multikollinjäritet, homoskedasticitet, ingen autokorrelation, ingen endogenitet, normalfördelning.

Beskrivningar att välja bland:

sambandet är linjärt i modellens parametrar och modellen är korrekt specificerad
de oberoende variablerna har inte ett perfekt linjärt samband
feltermens varians är densamma för alla värden på de oberoende variablerna
feltermerna från olika observationer är inte korrelerade med varandra
feltermen är inte korrelerad med någon av de oberoende variablerna
feltermerna är symmetriskt normalfördelade kring noll
alla variabler i modellen måste vara uttryckta i linjär form och får inte exempelvis kvadreras eller logaritmeras
den beroende variabeln måste vara normalfördelad för att konfidensintervall och hypotestest ska vara giltiga
korrelationen mellan de oberoende variablerna måste vara exakt noll

Facit och genomgång

Gå igenom i LENA PH-ordning:

Linjäritet → sambandet är linjärt i modellens parametrar och modellen är korrekt specificerad
Exogenitet (ingen endogenitet) → feltermen är inte korrelerad med någon av de oberoende variablerna
Normalfördelning → feltermerna är symmetriskt normalfördelade kring noll
Ingen autokorrelation → feltermerna från olika observationer är inte korrelerade med varandra
Ingen (perfekt) multikollinjäritet → de oberoende variablerna har inte ett perfekt linjärt samband
Homoskedasticitet → feltermens varians är densamma för alla värden på de oberoende variablerna

De tre distraktorerna är precis de missförstånd som kostade poäng. Även den bästa A-tentan föll på två av dem:

“får inte kvadreras eller logaritmeras”: fel, det motsäger hela pass 4 och 5. A-tentan valde den för linjäritet.
“korrelationen … måste vara exakt noll”: fel, kravet är inte perfekt. A-tentan valde den för autokorrelation.
“den beroende variabeln måste vara normalfördelad”: fel, det är feltermen.

2. Hypoteser för lika lutningskoefficienter

2026-08-20, fråga 10 4 p Lätt: 88 % 🔁 På nästan varje tenta

Antag att du vill skatta sambandet mellan pris på bostadsrättslägenheter och ett antal oberoende variabler. Du skattar därför följande modell y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃ + β₄x₄ + ε där de oberoende variablerna är x₁ = bostadsyta, x₂ = antal rum, x₃ = bostadsrättsföreningens ålder och x₄ = byggnadens ålder. Om du vill undersöka om bostadsrättsföreningens ålder och byggnadens ålder har samma lutningskoefficienten, vilken av nedanstående visar då de hypoteser som ska testas?

H₀: β₃ + β₄ = 1, H_A: β₃ + β₄ ≠ 1
H₀: β₃ = β₄ = 0, H_A: β₃ ≠ β₄ ≠ 0
H₀: β₃ = β₄, H_A: β₃ ≠ β₄
H₀: β₃ + β₄ = 0, H_A: β₃ + β₄ ≠ 0

Facit och genomgång

H₀: β₃ = β₄, H_A: β₃ ≠ β₄. “Samma lutning” översätts ordagrant, och likheten står i H₀.

Ta sedan steget till den begränsade modellen, eftersom det är så frågan oftast ställs: y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃(x₃ + x₄) + ε (2024-03-19, fråga 10). På 2025-03-25 och 2025-08-20 gällde frågan i stället bostadsyta och antal rum. Då blir den begränsade modellen y = β₀ + β₁(x₁ + x₂) + β₃x₃ + β₄x₄ + ε.

3. Marginaleffekt i en kvadratisk modell (räkna)

2026-08-20, fråga 6 4 p 74 %, gap 1,39

En forskare skattar en kvadratisk modell för logaritmen av årslön som funktion av utbildning: ln(lön) = β₀ + β₁·utbildning + β₂·utbildning² + ε. De skattade koefficienterna är b₁ = 0,09 och b₂ = −0,002. Vad är den marginella effekten av utbildning vid 12 års utbildning?

9,0 procent
2,1 procentenheter
4,2 procent
Det går inte att tolka som en procentuell förändring eftersom den beroende variabeln är logaritmerad
−0,2 procent

Facit och genomgång

4,2 procent. 0,09 + 2 · (−0,002) · 12 = 0,09 − 0,048 = 0,042. Eftersom y är logaritmerad tolkas det som cirka 4,2 % högre lön per extra utbildningsår (förhandstitt på pass 5). Distraktorn 9,0 % är bara b₁, dvs att glömma kvadrattermen.

4. Vad säger ett gemensamt F-test?

2025-06-05, fråga 2 2025-03-25, fråga 2 2 + 2 p Sant/falskt

Om vi i ett “Test of joint significance”, dvs det F-test som genomförs för modellen som helhet, förkastar nollhypotesen så kan vi tolka detta som att ingen av de oberoende variablerna har ett linjärt samband med den beroende variabeln.

Om vi i ett “Test of joint significance”, dvs det F-test som genomförs för modellen som helhet, förkastar nollhypotesen så kan vi tolka detta som att summan av lutningskoefficienterna inte är lika med noll.

Facit och genomgång

Båda falska. H₀: β₁ = … = βₖ = 0. Att förkasta betyder bara att minst en β är skild från noll. a) beskriver H₀ själv. b) är en helt annan restriktion (summan), som skulle kräva ett eget restriktionstest som i uppgift 2.

5. Marginaleffekt i en kvadratisk modell (begrepp)

2025-06-05, fråga 4 2024-03-19, fråga 3 2 p Sant/falskt

For the quadratic regression model ŷ = b₀ + b₁x + b₂x², the marginal effect of x is b₁ holding x² term constant.

Facit och genomgång

False. Marginaleffekten är b₁ + 2b₂x och beror på x. x² kan inte hållas konstant medan x ändras. Peka på tangenterna i tavelbilden.

Fler tentafrågor på området

Tenta	Fråga	Rätt svar	Kommentar
2024-03-19, fråga 10	Bostadsrätterna: vilken är den begränsade modellen om föreningens och byggnadens ålder har samma lutning?	y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃(x₃ + x₄) + ε	Steget efter uppgift 2.
2024-11-01, fråga 9; 2024-12-15, fråga 9	Samma fråga som uppgift 2	H₀: β₃ = β₄	Kommer nästan varje gång.
2025-03-25, fråga 9; 2025-08-20, fråga 10	Begränsad modell om bostadsyta och antal rum har samma lutning	x₁ och x₂ ersätts av (x₁ + x₂)
2024-11-01, fråga 12	Konfidensintervall eller prediktionsintervall vid givna x: vilket påstående stämmer?	Prediktionsintervallet blir helt säkert bredare
2024-12-15, fråga 10	Samma situation: vad gäller om mittpunkterna?	Båda intervallen har samma mittpunkt (punktskattningen)	Den bästa A-tentan svarade fel. Bra fråga till gruppen.
2024-03-19, fråga 9	Vad innebär heteroskedasticitet?	Att variansen för feltermen inte är konstant för alla observationer
2025-08-20, fråga 12	Vilket bryter mot antagandena?	Feltermen är korrelerad med en eller flera oberoende variabler	E i LENA PH.
2024-11-01 fr. 11; 2025-03-25 fr. 10; 2025-06-05 fr. 5	Lucktext om antaganden (residualer, homoskedasticitet, endogenitet, multikollinjäritet)		Samma begrepp som uppgift 1.
2025-03-25, fråga 5; 2025-08-20, fråga 5	Kvadratisk modell: vid vilket x är y maximal, eller marginaleffekten noll?	x = −b₁ / (2b₂)
2024-12-15, fråga 3; 2025-08-20, fråga 3	Kubisk modell: “a percent increase in x leads to b₁ + 2b₂x + 3b₃x² change”	False	Derivatan ger effekten av en enhet, inte en procent.
Engelska essäfrågan 2024–2025 (fråga 13)	“What is the marginal effect of age among people who are 35/40 years old?”	b_age + 2·b_age²·ålder	Kommer på varje tenta 2024–2025.

Interaktivt (visa från datorn)

Kvadratisk modell: ändra b₁, b₂ och x och se tangenten (marginaleffekten) och vändpunkten.

viewof q_b1 = Inputs.range([-1, 4], {step: 0.1, value: 2.4, label: "b₁"})
viewof q_b2 = Inputs.range([-0.5, 0.3], {step: 0.01, value: -0.2, label: "b₂"})
viewof q_x0 = Inputs.range([0, 12], {step: 0.5, value: 2, label: "x"})
q_f = (x) => 1 + q_b1 * x + q_b2 * x * x
q_me = q_b1 + 2 * q_b2 * q_x0
q_tp = q_b2 !== 0 ? -q_b1 / (2 * q_b2) : null
md`Marginaleffekt vid x = ${q_x0}: b₁ + 2b₂x = ${q_b1.toFixed(1)} + 2·(${q_b2.toFixed(2)})·${q_x0} = **${q_me.toFixed(2)}**. ${q_tp !== null && q_tp > 0 && q_tp < 12 ? `Vändpunkt vid x = ${q_tp.toFixed(1)}.` : ""}`

Plot.plot({
  width: 640, height: 340, x: {domain: [0, 12], label: "x"}, y: {label: "ŷ"},
  marks: [
    Plot.line(d3.range(0, 12.01, 0.1).map(x => [x, q_f(x)]), {stroke: "#1f2a37", strokeWidth: 2.5}),
    Plot.line([[q_x0 - 2, q_f(q_x0) - 2 * q_me], [q_x0 + 2, q_f(q_x0) + 2 * q_me]], {stroke: q_me >= 0 ? "#057a55" : "#e02424", strokeWidth: 2}),
    Plot.dot([[q_x0, q_f(q_x0)]], {fill: "#1c64f2", r: 6}),
    q_tp !== null && q_tp > 0 && q_tp < 12 ? Plot.ruleX([q_tp], {stroke: "#9ca3af", strokeDasharray: "4,4"}) : null
  ]
})